Aivojumppaa: Ongelmapähkinöitä matemaattisista sanallisiin

[MrKAT]

Kevyempää ongelmanratkaisua.  (Jos alue on väärä niin saa siirtää).

Ahtaassa tilassa koitan mitata putken läpimittaa.
Katson silmällä (s) kun metrimitta edessä (i, putkea sivuten)) näyttää 20 cm ja takana(I, putkea sivuten) 30 cm.
Perspektiivi-ilmiö.
        s--iOI

Mikä on putken halkaisija D?

(Sain kaavan kehitettyä 15-30 minuutissa mutta ajatuksia häiritsi pitkään, että näytti liki mahdottomalta, kun silmän etäisyyttä mitoista i ja I ei tiedä (etäisyyserotuksesta saa D:n) ja siten sain yhtälön, jossa 2 tuntematonta...).

[mks]

Parempi mitata silmän etäisyys e putkesta, jolloin  (e+D):e?=30cm:20cm. Kun kerran mitta on käsillä, tämä on nopeampaa kuin laskea yhtölöparilla käyttäen silmän, putken sivuamispisteen ja keskipisteen kolmion (kateetit D/2 ja hypotenuusa D/2+e) yhdenmuotoisuutta koko kuvion puolikkaan kanssa. 

mks

[MrKAT]

Oheisella kuviolla:
G=20, H= 30 cm.  g=½G, h=½H ja havaitaan keltaisesta nelikulmiosta vihreän lävistämänä että yläpuolelle g ja vastaavasti punaiselle nelikulmiolle ylle h. Sitten g:n korkuisella vaakaviivalla saadaan pikkukolmio jonka hypotenuusa on g+h ja oikeasivu on h-g (kuviossa tosin virheellisesti "g-h") ja alasivu = 2r (=D).  Pythagoraalla tuosta pikkukolmiosta yhtälö:
    (2r)² + (h-g)² = (h+g)²
  => 4r² + h²-2hg+g² = h²+2gh+g².
   Siitä g2 ja h2:t supistuu pois:
  => 4r² + h²-2hg+g² = h²+2gh+g².
  => 4r²= 4gh.
   => r² = gh.
                 ____
   => r = \/ gh
                                ___
  ja vastaavasti D = \/ GH  eli G:n ja H:n geometrinen keskiarvo!

  Tässä esimerkissä  G=20 cm ja H=30 cm, joten
     D= sqrt( 20*30 cm*cm) = sqrt(600 cm*cm) = 24.495 cm.
                                                                       ========

[MrKAT]

Toinen mahdollisuus on että katsellaan "maan tasalta" poikittain makaavaa rakettia.
Joku mittaa  A =2 m ja B = 3 m, mutta unohtaa mitata matkan e silmään. Mikä on raketin halkaisija D?
Vastaavalla tavalla kuin edellä saadaan pikkukolmion hypotenuusaksi (A-r)  + (B-r), oikea sivu B-r ja alasivu 2r.
Pythagoraalla:
  ((A-r)+(B-r))² = (2r)² + (B-r)².
 Siitä saadaan lopulta
  =>  4AB = 4r(A+B) josta
   =>   r= AB / (A+B)  ja
         D = 2AB / (A+B), joka on A:n ja B:n harmoninen keskiarvo! (Sillä 2AB/(A+B) = 2/(1/A+1/B)  ).

 Esimerkissä D = 2*2*3 / (2+3) m = 12 / 5 m = 2.4 m.
                                                                       ====

[MrKAT]

Lomatonni
on Veikkauksen peli jossa pitää arvata oikein kaupunki ja 2-numeroinen luku, niin saa tonnin.
Mutta jo se riittää että saa kaupungin oikein niin saa 5 euroa. Tästä tuli mieleen hämmästys että onko niitä eri kaupunkeja arvonnassa niin paljon  yli 100:n että sen osumasta palkitaan ihan erikseen.

Ongelma: Paljonko kaupunkeja (n kpl) on lomatonni arvonnassa mukana?

Ratkaisu 1:
Arvioin syntymäpäiväparadoksilla (jossa n=365, k=23).
Katsoin peräkkäisiä lomatonni-arvontoja järjestään niin että ketjut muodostuu niin että lopultaan on 2 samaa. Esim.
  Lissabon, Rooma, Riika, Lontoo, Moskova, Rooma.  Siis Rooma "osui". Ketju on 6:n pituinen.
Seuraavasta ketjusta tuli 6, sitten 9, sitten 10, sitten 13 ja 14. => Keskimäärin k= 9,6667 pituisia.
Tästä laskin n ~ 9,6667^2 / 1.5 = 62.
(Oma likikaava syntymäpäivä paradoksille: 50% tn on jos ihmisiä on k= sqrt(365*1.5) ~23.)

Wikipediasta engl.k. puolelta löytyy tarkempi likikaava (tänne soveltaen): 0.5=1-e^-(k^2/n/2) =>
=> ln 0.5 = -k^2/n/2 => 2*0.693 n = k^2
=> n = 0.7215 k^2  ~ 0.7215 * 9,667^2 = 67.

Ratkaisu 2:
Googlasin ja löysinkin veikkauksen lomatonni-ohjeista että n=60.